Um den Rang einer Matrix zu bestimmen, tut man folgendes: 1. 675.9 1067.1 879.6 844.9 768.5 844.9 839.1 625 782.4 864.6 849.5 1162 849.5 849.5 endobj Dies lässt sich am besten mit Beispielen Erklären: Gegeben seien diese Abbildungsvorschrift: Nun gibt es verschiedene mögliche Aufgabenstellungen und Möglichkeiten. der Basen B V und B W. Ueberpruefe deine Matrix mit dem Vektor v:= 2v 1 +v 2. << endobj 734 761.6 666.2 761.6 720.6 544 707.2 734 734 1006 734 734 598.4 272 489.6 272 489.6 Geben Sie in die Felder für die Elemente der Matrix ein und führen Sie die gewünschte Operation durch klicken Sie auf die entsprechende Taste aus. Eine quadratische Matrix A A besitzt einen Kern, wenn ihre Determinante gleich Null ist. Mehr Steckt nicht dahinter. Bei jedem Produkt "Zeile mal Spalte" multiplizierst du die zusammengehörigen Einträge (erster mal erster, zweiter mal zweiter usw.) stream 783.4 872.8 823.4 619.8 708.3 654.8 0 0 816.7 682.4 596.2 547.3 470.1 429.5 467 533.2 Matrix bezüglich einer Basis bestimmen / Basiswechsel Wenn ihr eine Matrix bezüglich einer Basis bestimmen sollt, ist dies nichts anderes als die eine Basis mit der Abbildungsvorschrift abzubilden und dann das Ergebnis mit der anderen Basis zu schreiben (also z.B. >> /FontDescriptor 17 0 R >> Um den Rang einer Matrix zu berechnen, musst du folgende Schritte durchführen. 3 mal der erste Vektor, dann 2 mal der andere usw.). 1444.4 555.6 1000 1444.4 472.2 472.2 527.8 527.8 527.8 527.8 666.7 666.7 1000 1000 888.9 888.9 888.9 888.9 666.7 875 875 875 875 611.1 611.1 833.3 1111.1 472.2 555.6 Es ist immer so, dass die Basis die rechts steht in Elementen aus der Basis geschrieben werden soll die links steht. Wenn ihr eine Matrix bezüglich einer Basis bestimmen sollt, ist dies nichts anderes als die eine Basis mit der Abbildungsvorschrift abzubilden und dann das Ergebnis mit der anderen Basis zu 319.4 575 575 702.8 575 319.4 958.3 900 958.3 568.8 766.7 766.7 894.4 894.4 526.4 Bestimme die Matrixdarstellung Avon f bzgl. 875 531.3 531.3 875 849.5 799.8 812.5 862.3 738.4 707.2 884.3 879.6 419 581 880.8 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 458.3 458.3 416.7 416.7 endobj Ihr seht beim ersten Vektor kommt mit der Abbildungsvorschrift (3,5) raus. 1111.1 1511.1 1111.1 1511.1 1111.1 1511.1 1055.6 944.4 472.2 833.3 833.3 833.3 833.3 /Type/Font Dann heiˇt die (m n){Matrix, die aus den n Spaltenvektoren f(e1);f(e2);:::;f(en) 2 Km gebildet wird, die Darstellungsmatrix von f. Sie wird mit M(f) bezeichnet. 30 0 obj b) Bestimmen Sie die darstellende Matrix A00von ‘ A: R3!R2 bezuglich der beiden Basen … Dann ist die Darstellungsmatrix S = M B , C ( id ⁡ ) S=M_{B,C}(\id) S = M B , C ( i d ) der identischen Abbildung invertierbar und die inverse Matrix ist genau die Darstellungsmatrix S − 1 = M C , B ( id ⁡ ) S^\me=M_{C,B}(\id) S − 1 = M C , B ( i d ) . a) Zeigen Sie, daˇ v 1, v 2, v 3 eine Basis von R3 und w 1, w 2 eine Basis von R2 ist, und bestimme die darstellende Matrix A0von ‘ A: R3!R2 bez uglich dieser beiden Basen. /FontDescriptor 11 0 R Matrizen sind ein Schlüsselkonzept der linearen Algebra und tauchen in fast allen Gebieten der Mathematik auf. Setze die Matrix. /FirstChar 33 Diese Matrix findet man, indem man beide geordneten Basen nebeneinander schreibt und die rechte Seite "durchgaußt": /BaseFont/ZQLZVR+CMSY10 /Type/Font 766.7 766.7 766.7 766.7 766.7 702.8 702.8 511.1 511.1 511.1 511.1 575 575 447.2 447.2 So, jetzt sollte hierfür die Basis ausgerechnet werden: U = ( 1 1 0 0), ( 1 0 1 0), ( 1 0 0 1), ( 0 1 1 0), ( 0 1 0 1), ( 0 0 1 1) ⊂ R 4. Schritt 2: Schreibe die Bilder als Spalten in eine Matrix. Untersuchung des Bildes. ), Fläche zwischen zwei Funktionen berechnen, Anzahl der Möglichketen berechnen (Kombinatorik), Geradengleichung mit 2 Punkten aufstellen (3D), Koordinatenform und Normalenform einer Ebene, Linearkombinationen und lineare Unabhängigkeit, Mächtigkeit, Überabzählbarkeit, Transzendenz, Abiturprüfung Berlin 2021 - Mathematik GK, Abiturprüfung Berlin 2021 - Mathematik LK, Abiturprüfung Brandenburg 2021 - Mathematik LK, Abiturprüfung Niedersachsen 2021 - Mathematik GK, Abiturprüfung Sachsen 2021 - Mathematik GK, Abiturprüfung Sachsen 2021 - Mathematik LK, Abiturprüfung Schleswig-Holstein 2021 - Mathematik, Abiturprüfung Thüringen 2021 - Mathematik, Abitur-Training - Mathematik Analysis mit CAS, Training Gymnasium - Algebra - Fit für die Oberstufe, Training Gymnasium - Geometrie - Fit für die Oberstufe. fg��M�4����"Fׯ�Q�����O_^��#T4l�U%�,߬/��fs�ֻ�����U����f�] Vw�q�nvu���7��B���E�5Ѧ�� BN��M��� ��8�w_�g9����s�U�!΄MJ,/$Q;D�%�j8pܽ��p]���!^�j;^�x)�uQ1b\�g�iI����XUL��>L��{?>���X����&�#��L8V#�.�ڛIrS޷��m�ϕ�cY�@�*c ���"�|��*�\G�"c@��2��y_r�T� �����6:a�d����bfZ���,��˪��nd'���Kaw�r�l7�5��p#��6u �ܔ���XV�v����|�f:��ŏp��GX�9��[�����q�S@7l����_��n�my������A��((���a��. /Name/F2 562.5 562.5 562.5 562.5 562.5 562.5 562.5 562.5 562.5 562.5 562.5 312.5 312.5 342.6 6.1 Matrizen in der Quantenmechanik Die Entdeckung der Quantenmechanik geht auf Werner Heisenberg zur ¨uck. Ansatz: sei der Kandidat für den Koordinatenvektor, d.h.: . /BaseFont/HBKHON+CMMI8 489.6 489.6 489.6 489.6 489.6 489.6 489.6 489.6 489.6 489.6 272 272 272 761.6 462.4 Zweite M oglichkeit: Die Matrix 0 @ 1 4 2 0 3 1 1 0 0 1 A hat die Determinante 10 6= 0. 18 0 obj 324.7 531.3 590.3 295.1 324.7 560.8 295.1 885.4 590.3 531.3 590.3 560.8 414.1 419.1 1000 1000 1055.6 1055.6 1055.6 777.8 666.7 666.7 450 450 450 450 777.8 777.8 0 0 /FontDescriptor 26 0 R Der Basiswechsel kann durch eine Matrix beschrieben werden, die Basiswechselmatrix, Transformationsmatrix oder Übergangsmatrix genannt wird. 12 0 obj << /Name/F8 Bestimme die Matrixdarstellung Avon fbzgl. >> 295.1 531.3 531.3 531.3 531.3 531.3 531.3 531.3 531.3 531.3 531.3 531.3 295.1 295.1 Die Ergebnisse die dann raus kommen schreibt ihr dann wie in Beispiel 1 812.5 875 562.5 1018.5 1143.5 875 312.5 562.5] /LastChar 196 /FirstChar 33 /Length 2019 << 761.6 489.6 516.9 734 743.9 700.5 813 724.8 633.9 772.4 811.3 431.9 541.2 833 666.2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 894.4 319.4 894.4 575 894.4 575 894.4 894.4 894.4 894.4 << Die elementaren Zeilenoperationen – p. 11 . Vektor -1 mal und der 3. Nächste » + +1 Daumen. Mit Mathods.com Mathematik- und Statistik-Klausuren erfolgreich bestehen. Dann müsst ihr nur noch die Vektoren die ihr dadurch erhalten habt hintereinander schreiben, so erhaltet ihr die Matrix nach der gefragt wurde in der Angabe: Alle Rechte vorbehalten. Vektor der Basis 1 mal. 380.8 380.8 380.8 979.2 979.2 410.9 514 416.3 421.4 508.8 453.8 482.6 468.9 563.7 Als App für iPhone/iPad/Android auf www.massmatics.dewww.massmatics.de Die lineare Abbildung L: R2!R2 sei durch die Matrix 3 1 1 3! kanonische Basis von Kn. Das Video soll euch erklären, wie man die Dimension eines Vektorraums berechnet und warum man dazu die Basis berechnen muss. /FirstChar 33 geschützt! Die nicht verschwindenden Zeilen von B bilden nach 3.1 eine Basis des Zei-lenraums von B. Nach dem folgenden Satz bilden sie auch eine Basis von ZR(A). det(A)= 0 → Kern existiert det (A) = 0 → Kern existiert Wäre die Determinante der quadratischen Matrix A A ungleich Null, so enthielte der Kern der Matrix nur den Nullvektor. Dabei hilft dir die Regel "Zeile mal Spalte", also der erste Eintrag des Ergebnisses ist die erste Zeile der Matrix mal dem Spaltenvektor, der zweite Eintrag ist die zweite Zeile der Matrix mal dem Spaltenvektor (usw. Wähle das 2te Element in der 2ten Spalte und führe die Operationen erneut bis zum Schluss durch (Schlüsselelemente können manchmal verschoben werden). 791.7 777.8] In der Mathematik versteht man unter einer Matrix (Plural Matrizen) eine rechteckige Anordnung (Tabelle) von Elementen (meist mathematischer Objekte, etwa Zahlen).Mit diesen Objekten lässt sich dann in bestimmter Weise rechnen, indem man Matrizen addiert oder miteinander multipliziert. >> Es ist also M(f) = (f(e1)f(e2) ::: f(en)) 2 Mm;n(K) (18.2) LEMMA: Ist f : Kn! 545.5 825.4 663.6 972.9 795.8 826.4 722.6 826.4 781.6 590.3 767.4 795.8 795.8 1091 /BaseFont/CPFLAI+CMMI12 Max Born erkannte diese Felder als Matrizen. /Name/F5 endobj /Type/Font 295.1 826.4 501.7 501.7 826.4 795.8 752.1 767.4 811.1 722.6 693.1 833.5 795.8 382.6 eine Basis von R3 bilden. << /Filter[/FlateDecode] Nach der Wahl einer Basis aus der Definitionsmenge und der Zielmenge stehen in den Spalten der Abbildungsmatrix die Koordinaten der Bilder der Basisvektoren des abgebildeten Vektorraums bezüglich der Basis des Zielraums: Jede Spalte der Matrix ist das Bild eines Vektors der Urbildbasis. 324.7 531.3 531.3 531.3 531.3 531.3 795.8 472.2 531.3 767.4 826.4 531.3 958.7 1076.8 462.4 761.6 734 693.4 707.2 747.8 666.2 639 768.3 734 353.2 503 761.2 611.8 897.2 Dann ist die Lösung des linearen Gleichungsystems (4.1) äquivalent zur Bestimmung der Komponenten des Vektors bezüglich der Basis Def: Matrix (Plural: Matrizen) Vektor. /LastChar 196 656.3 625 625 937.5 937.5 312.5 343.8 562.5 562.5 562.5 562.5 562.5 849.5 500 574.1 9 0 obj . 833.3 1444.4 1277.8 555.6 1111.1 1111.1 1111.1 1111.1 1111.1 944.4 1277.8 555.6 1000 /Widths[1000 500 500 1000 1000 1000 777.8 1000 1000 611.1 611.1 1000 1000 1000 777.8 Er assoziierte physikalische Gr ¨oßen wie xund pmit Feldern von Zahlen und schlug f ¨ur diese Multiplikationsregeln vor, aus denen sich weitere Felder wie x2 ergeben. /Name/F4 Nun, wir bestimmen eine Matrix A für die gilt: \(A \cdot \Theta_B(v) = \Theta_{\bar B}(v) ~~~ \forall v \in \mathbb{R}^2\). 666.7 666.7 666.7 666.7 611.1 611.1 444.4 444.4 444.4 444.4 500 500 388.9 388.9 277.8 Die Vorfaktoren (wie oft die erste und die zweite Basis) schreibt ihr wieder /Subtype/Type1 Basen werden zu unterschiedlichen Zwecken benutzt: Um lineare Abbildungen in ihrer Matrixdarstellung zu verein-fachen, um die Dimension von Vektorr aumen und ihren Unterr aumen zu erfassen, um etwa Schwingungen in ihre Grund- und Obert one zu zer-legen . >> Kostenlos über 1.000 Aufgaben mit ausführlichen Lösungswegen. 500 500 611.1 500 277.8 833.3 750 833.3 416.7 666.7 666.7 777.8 777.8 444.4 444.4 /BaseFont/NFDYJC+CMBX12 >> 894.4 702.8 920.7 747.8 613 892.1 606.9 814.1 681.6 987.4 642.4 779.4 871.2 788.2 endobj /Subtype/Type1 27 0 obj /LastChar 196 /FontDescriptor 23 0 R Dann beschreibt die Abbildungsmatrix die Veränderung, die die Koordinaten eines beliebigen Vektors bezüglich dieser Basis bei der Abbildung erfahren. Dann schreibt ihr einfach die Anzahl der Basis Vektoren untereinander und habt das Ergebnis. Z.B. << Wir multiplizieren eine Matrix \(A\) mit einem beliebigen Vektor \(x\) und erhalten den Lösungsvektor \(b\). 334 405.1 509.3 291.7 856.5 584.5 470.7 491.4 434.1 441.3 461.2 353.6 557.3 473.4 492.9 510.4 505.6 612.3 361.7 429.7 553.2 317.1 939.8 644.7 513.5 534.8 474.4 479.5 (Alle Inhalte auf Studimup sind urheberrechtlich 826.4 295.1 531.3] << Matrix, da man f ur Matrizen sehr gute Rechenverfahren hat (auch computertaugliche!). /BaseFont/VKGCZW+CMR12 Und zwar habe ich es bis jetzt immer so beigebracht bekommen, dass man die Basis einer Matrix durch die Zeilenstufenform bekommt. /FontDescriptor 8 0 R (b) Bestimmen Sie die Darstellungsmatrix der Spiegelung an Wbezuglich der Standardbasis. Wenn wir bei dieser Intuition bleiben, so können wir folgende vorläufige Definition von Dimension geben: Die Dimension eines Vektorr… Den Vektor bezüglich der Basis A (von oben) schreiben: Das bedeutet die Vektoren der Basis A sollen als Linearkombination diesen Vektor ergeben. /LastChar 196 /Name/F3 593.8 500 562.5 1125 562.5 562.5 562.5 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 Sei nun A eine beliebige m £ n{Matrix. /Subtype/Type1 820.5 796.1 695.6 816.7 847.5 605.6 544.6 625.8 612.8 987.8 713.3 668.3 724.7 666.7 Km eine K{lineare Abbildung, so gilt f(v) = M(f) v f ur alle v 2 Kn, d.h. f = f M(f). Eigenschaften von Abbildungsmatrizen. /Name/F7 24 0 obj einer Basis bestimmen Aufgabe: Den Koordinatenvektor von bzgl. /Type/Font 795.8 795.8 649.3 295.1 531.3 295.1 531.3 295.1 295.1 531.3 590.3 472.2 590.3 472.2 endobj /BaseFont/TBXLSR+CMR8 << 652.8 598 0 0 757.6 622.8 552.8 507.9 433.7 395.4 427.7 483.1 456.3 346.1 563.7 571.2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 663.6 885.4 826.4 736.8 694.5 295.1] 460.7 580.4 896 722.6 1020.4 843.3 806.2 673.6 835.7 800.2 646.2 618.6 718.8 618.8 /FirstChar 33 /BaseFont/GAPKZE+CMBSY10 der Basis bestimmen. 611.1 798.5 656.8 526.5 771.4 527.8 718.7 594.9 844.5 544.5 677.8 762 689.7 1200.9 /Type/Font >> Bei einer linearen Selbstabbildung (einem Endomorphismus) eines Vektorraums legt man gewöhnlich eine feste Basis des Vektorraumes als Definitionsmenge und Zielmenge zugrunde. 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 777.8 277.8 777.8 500 777.8 500 777.8 777.8 777.8 777.8 0 0 777.8 272 272 489.6 544 435.2 544 435.2 299.2 489.6 544 272 299.2 516.8 272 816 544 489.6 495.7 376.2 612.3 619.8 639.2 522.3 467 610.1 544.1 607.2 471.5 576.4 631.6 659.7 /LastChar 196 761.6 272 489.6] /LastChar 196 777.8 777.8 1000 500 500 777.8 777.8 777.8 777.8 777.8 777.8 777.8 777.8 777.8 777.8 /Widths[791.7 583.3 583.3 638.9 638.9 638.9 638.9 805.6 805.6 805.6 805.6 1277.8 Sei V V V ein endlich dimensionaler Vektorraum über dem Körper K K K und B B B und C C C seien zwei Basen. Mit dieser lassen sich auch die Koordinaten bezüglich der neuen Basis ausrechnen. /BaseFont/URXMMF+CMEX10 und addierst die Ergebnisse. 589.1 483.8 427.7 555.4 505 556.5 425.2 527.8 579.5 613.4 636.6 272] 2.1). der Basis B V einfach der Vektor (0;1)T. 2. Die Vorfaktoren ergeben dann das Ergebnis: Ihr seht der erste Vektor der Basis A 0 mal, der 2. (a) Bestimmen Sie einen Unterraum V R4 mit vw= 0 f ur alle v2V und w2W. 472.2 472.2 472.2 472.2 583.3 583.3 0 0 472.2 472.2 333.3 555.6 577.8 577.8 597.2 /Subtype/Type1 (d) Erste M oglichkeit: Die Basen B 1 und B 2 sind jeweils Basen der Eigenr aume zu den Eigenwerten 1 und 1. Damit besteht die Familie B= (B 1;B 2) aus drei linear unabh angigen Vektoren, die somit eine Basis von R3 bilden. 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 642.9 885.4 806.2 736.8 2. Wir wollen auf den Begriff der Dimension hinarbeiten. x��ZYs�~ϯ��Ӣ��}PV%T����f�*~@�%�� ����|�g��ݞA�J��B�3�����ע����,^]y� 894.4 894.4 894.4 894.4 1150 1150 894.4 894.4 1150 894.4] /Type/Font der Basis B V einfach der Vektor (1;0)T. v 2 = 0v 1 +1v 2 also ist der Koordinatenvektor von v 2 bzgl. 1277.8 811.1 811.1 875 875 666.7 666.7 666.7 666.7 666.7 666.7 888.9 888.9 888.9 511.1 511.1 702.8 894.4 894.4 894.4 894.4 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 708.3 795.8 767.4 826.4 767.4 826.4 0 0 767.4 619.8 590.3 590.3 885.4 885.4 295.1 Mithilfe dieses Rechners können Sie die Determinante sowie den Rang der Matrix berechnen, potenzieren, die Kehrmatrix bilden, die Matrizensumme sowie das Matrizenprodukt berechnen. Also: . . 699.9 556.4 477.4 454.9 312.5 377.9 623.4 489.6 272 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 /FontDescriptor 29 0 R /FirstChar 33 777.8 777.8 1000 1000 777.8 777.8 1000 777.8] bei größeren Matrizen). Hinweis: Oft sind die Bilder der Einheitsvektoren schon in der Aufgabenstellung gegeben. 1. 544 516.8 380.8 386.2 380.8 544 516.8 707.2 516.8 516.8 435.2 489.6 979.2 489.6 489.6 /Widths[660.7 490.6 632.1 882.1 544.1 388.9 692.4 1062.5 1062.5 1062.5 1062.5 295.1 sowie die Matrix A= 9 13 3 4 5 1 2R2 3 gegeben. 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 606.7 816 748.3 679.6 728.7 811.3 765.8 571.2 947.3 784.1 748.3 631.1 775.5 745.3 602.2 573.9 665 570.8 924.4 812.6 568.1 670.2 schreiben (also z.B. man die Basis rechts erst in die Abbildung ein und schreibt dann das Ergebnis in Linearkombinationen der Elemente aus Basis B. Um das Beispiel zu berechnen setzt ihr also erst alle Elemente der Basis A nacheinander in die Abbildungsvorschrift ein. 15 0 obj 2. >> Beispiel. Loesung: 1. v 1 = 1v 1 +0v 2 also ist der Koordinatenvektor von v 1 bzgl. 295.1 826.4 531.3 826.4 531.3 559.7 795.8 801.4 757.3 871.7 778.7 672.4 827.9 872.8 Der Rang ist die Anzahl der Nichtnullzeilen. endobj Bestimme eine Basis vom Eigenraum. 444.4 611.1 777.8 777.8 777.8 777.8 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 wie oben untereinander hin und fertig :). /FontDescriptor 20 0 R 299.2 489.6 489.6 489.6 489.6 489.6 734 435.2 489.6 707.2 761.6 489.6 883.8 992.6 0 0 894.4 894.4 894.4 1150 575 575 894.4 894.4 894.4 894.4 894.4 894.4 894.4 894.4 Bringe die Matrix in Zeilenstufenform. Das Bild einer Matrix kann man sich also als die Wertemenge der Matrix vorstellen. 687.5 312.5 581 312.5 562.5 312.5 312.5 546.9 625 500 625 513.3 343.8 562.5 625 312.5 Fange dabei beim ersten Einheitsvektor an: Für alle Vektoren gilt dann . 597.2 736.1 736.1 527.8 527.8 583.3 583.3 583.3 583.3 750 750 750 750 1044.4 1044.4 /Name/F1 761.6 679.6 652.8 734 707.2 761.6 707.2 761.6 0 0 707.2 571.2 544 544 816 816 272 343.8 593.8 312.5 937.5 625 562.5 625 593.8 459.5 443.8 437.5 625 593.8 812.5 593.8 Also -1 mal der erste Vektor plus 2 mal der 2. L osung 17: (a) Es sind alle Vektoren v2R4 zu bestimmen, die orthogonal zu den 5 Vektoren sind, die Waufspannen. 275 1000 666.7 666.7 888.9 888.9 0 0 555.6 555.6 666.7 500 722.2 722.2 777.8 777.8 /LastChar 196 Das Bild einer Matrix gibt an, welche Menge an Vektoren als Lösungen auftreten können. /Subtype/Type1 Mathematik und Statistik Übungsaufgaben mit Lösungsweg zum Thema Lineare Algebra Vektorraum Basis. 2/8 l asst sich ein Kern dann als L osung eines homogenen linearen Gleichungssystems berechnen, wo man den Gauˇ-Algorithmus anwenden kann. Voraussetzung Es seien U 1;U 2 Untervektorr aume von K n. Wir wollen Basen des Schnittes U 1 \U 2 und der Summe U 1 + U 2 bestimmen. /Subtype/Type1 32 0 obj /FirstChar 33 Intuitiv können wir uns diese als die maximale Anzahl an linear unabhängigen Richtungen in einem Raum vorstellen. /FirstChar 33 Wähle das 1ste Element in der 1sten Spalte und eliminiere alle Elemente, die unter dem momentanen Element sind. 413.2 590.3 560.8 767.4 560.8 560.8 472.2 531.3 1062.5 531.3 531.3 531.3 0 0 0 0 21 0 obj /Widths[272 489.6 816 489.6 816 761.6 272 380.8 380.8 489.6 761.6 272 326.4 272 489.6 Das Bedeutet ihr sollt die Basis A bezüglich der Basis B schreiben. >> 295.1 531.3 531.3 531.3 531.3 531.3 531.3 531.3 531.3 531.3 531.3 531.3 531.3 295.1 3 … 1377.8 937.3 905.6 809.9 939.2 989.6 696.4 644.1 714.7 737.4 1168.6 816.7 758.6 818.5 %PDF-1.2 Nach I.3 geht A durch elementare Zeilenumformungen von Typ I und II uber in eine Matrix˜ B in Zeilenstufen-form. (vgl. 491.3 383.7 615.2 517.4 762.5 598.1 525.2 494.2 349.5 400.2 673.4 531.3 295.1 0 0 Das liefert ein Gleichungssystem mit zwei Gleichungen und zwei Unbekannten. /Type/Font /Name/F6 489.6 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 611.8 816 als Linearkombinationen der Elemente von Basis B. /Widths[342.6 581 937.5 562.5 937.5 875 312.5 437.5 437.5 562.5 875 312.5 375 312.5 9,9k Aufrufe. Dazu setzt /Widths[1150 575 575 1150 1150 1150 894.4 1150 1150 702.8 702.8 1150 1150 1150 894.4 1002.4 873.9 615.8 720 413.2 413.2 413.2 1062.5 1062.5 434 564.4 454.5 460.2 546.7 gegeben. /Widths[295.1 531.3 885.4 531.3 885.4 826.4 295.1 413.2 413.2 531.3 826.4 295.1 354.2 /FontDescriptor 14 0 R Theorieartikel und Aufgaben auf dem Smartphone? 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 675.9 937.5 875 787 750 879.6 812.5 875 812.5 875 0 0 812.5 Dimension des Kerns Hilfssatz 3 Der Kern einer z s–Matrix A ist ein Vektorraum der Dimension s rang(A): Die elementaren Zeilenoperationen – p. 12. 344.4 1150 766.7 766.7 1022.2 1022.2 0 0 638.9 638.9 766.7 575 830.6 830.6 894.4 /Subtype/Type1 Das schreibt ihr dann in den Basiselementen von B. /Subtype/Type1 Bei Funktionen würde man Wertemenge (oder Wertebereich) dazu sagen. (18.3) LEMMA: a) Sind f;g : Kn! Bsp: Koordinatenvektor bzgl. /LastChar 196 endobj /Type/Font /Widths[609.7 458.2 577.1 808.9 505 354.2 641.4 979.2 979.2 979.2 979.2 272 272 489.6 Kern einer Matrix berechnen - 2x2 Beispiel (Determinante ungleich Null) 489.6 489.6 489.6 489.6 489.6 489.6 489.6 489.6 489.6 489.6 489.6 272 272 761.6 489.6 Bei der Bestimmung einer Orthonormalbasis aus Eigenvektoren ist die folgende Erkenntnis nützlich: ist die reelle Matrix symmetrisch, so sind ihre Eigenvektoren zu verschiedenen Eigenwerten orthogonal zueinander. /FirstChar 33 <<
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